#Карточки по алгебре (Конспект)

Здесь кратко описаны все определения, утверждения и теоремы, которые пригодятся на коллоке. При необходимости добавляются другие, которые важны для понимания (ну или просто полезны).

Каждая карточка содержит ссылки на другие связанные с ней. При клике они удобно отображаются в панельке справа (а ещё можно кликать по решёточке).

Красным отмечается то, что есть в списках для коллока.

Исходный код доступен здесь: Github, пулл-реквесты приветствуются.

Материалы:

• Материалы по коллоквиуму 2020/2021 от лектора:
  • Вопросы с доказательством
  • Определения: 1 модуль
  • Определения: 2 модуль
  • Определения: 3 модуль
  • Определения: 4 модуль
• Sofiika/AlgebraKollok:
  • LinalKollokOpredelenia1_4.pdf — основной источник, хотя там некоторых вещей не хватает.
  • Список вопросов с доказательством для коллоквиума.pdf — доказательства за 2018/19 год. Подробно как в конспектах, но я здесь ориентируюсь на 2020/21 год.
• https://wiki.bularond.ru/ru/algebra — подробные конспекты
• https://sldr.xyz/stylus/Algebra/ — мои рукописные конспекты, не очень красивые и может чего-то не хватать

Большой граф всего — если вдруг кому-то тоже захотелось визуализировать связи.

#Умножение матриц (Конспект)

Оно не коммутативно. Как минимум $A_{n×m} · B_{m×k} = C_{n×k}$, но $B_{m×k} · A_{n×m}$ не определено, если $n≠k$. И даже тогда $C_{n×k} ≠ D_{m×m}$ в общем случае. Либо можно просто привести пример: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

#Произведение матриц и транспонирование

#Ступенчатый вид матриц (Конспект)

Номера ведущих элементов строго возрастают (ведущие — первые ненулевые элементы). Все нулевые строки внизу.

Кстати, из этого следует, что под ведущими стоят нули

#Канонический вид матрицы (Конспект)

Как ступенчатый, но ведущие элементы равны $1$ и в столбцах с ведущими нули сверху.

#Элементарные преобразования строк (Конспект)

1. Умножение на число
2. Сложить с другой строкой (умноженной на число)
3. Поменять строки местами.

#Теорема о методе Гаусса (Конспект)

Любую конечную матрицу можно привести к ступенчатому/каноническому виду элементарными преобразованиями.

#Перестановка (Конспект)

Расположение чисел от $1$ до $n$ в определённом порядке.

#Подстановка

$\begin{pmatrix}1 & 2 & … & n \\ σ(1) & σ(2) & … & σ(n)\end{pmatrix}$ – подстановка $σ$ — биективное отображение множества $1,…,n$ в себя.

#Число инверсий в подстановке (Конспект)

Кол-во пар $(i, j)$ таких, что $σ_{j} > σ_{i}$, хотя $j < i$

#Знак подстановки (Конспект)

$\sgn(σ) = (-1)^n$, где $n$ — число инверсий в $σ$.

#Чётность подстановки (Конспект)

Подстановка чётна, если чётно число инверсий.

Отсюда, кстати, подстановка чётна, если $\sgn(σ) = 1$ (и нечётна если $\sgn(σ) = -1$).

#Кососимметричность

Кососимметричность эквивалентна обнулению на паре совпадающих элементов:

• Дана кососимметричность: $f(x_{1}, x_{2}) = -f(x_{2}, x_{1})$, но т.к. $x_{1} = x_{2}$, то $f(x_{1}, x_{2}) = f(x_{2}, x_{1})$. Получаем, что $-f(x_{2}, x_{1}) = +f(x_{2}, x_{1})$, т.е. $f(x_{2}, x_{1}) = 0$, ч.т.д.

• И в обратную сторону: $f(x_{1}, x_{2}) + f(x_{2}, x_{1}) = f(x_{1} + x_{2}, x_{2} + x_{1}) = 0$ ⇒ $f(x_{1}, x_{2}) = -f(x_{2}, x_{1})$, ч.т.д.

#Определитель (Конспект)

Свойства определителя, которые его определяют

1. $\det (A_{1},…, A_{i}+A'_{i}, …, A_{n}) = \det (A_{1},…,A_{i},…,A_{n}) + \det(A_{1},…,A_{i}',…,A_{n})$ — полилинейность по столбцам

2. Перестановка столбцов меняет знак ($det$ — кососимметрическая функция)

3. Определитель единичной матрицы $E$ равен единице. Это нужно для того, чтобы функция определителя была единственна, иначе существуют подходящие, отличающиеся на множитель.

#Другие свойства определителя

1. $\det A^T = \det A$. Отсюда все свойства верны и для строк вместо столбцов.

2. Если есть нулевой столбец или два столбца совпадают, то $\det A = 0$

3. Следствие из 4: Если один из столбцов является линейной комбинацией остальных, то $\det A = 0$

4. Следствие из 2 и 4: Если к столбцу прибавить линейную комбинацию остальных, то определитель не изменится

#Вычисление определителя (Конспект)

Матрица $A$ квадратная и размера $n×n$, а $S_{n}$ — мн-во всех подстановок (их, кстати, $n!$) $$\det A = \Σ_{σ∈S_{n}} \sgn(σ)a_{1σ(1)}a_{2σ(2)}…a_{nσ(n)}$$

Если $\det A = 0$, то матрицу называют вырожденной.

#Определитель произведения

#Дополняющий минор и алгебраическое дополнение (Конспект)

Дополняющий минор $M_{ij}$ получается вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца из матрицы.

Алгебраическое дополнение: $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

#Разложение определителя по столбцу (строке) (Конспект)

Разложение по строке или по столбцу, зависит только от того, по какой переменной пробегает сумма: $i$ или $j$. $$\det A = \Σ_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} = \Σ_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$$

#Фальшивое разложение (Конспект)

С вики:

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

#Формулы Крамера (Конспект)

Формула работает только когда СЛАУ совместна. Пусть $Ax = b$ — совместная СЛАУ. Тогда $x_{i}·\det A = \det(A_{1},…,A_{i-1},b,A_{i+1},…,A_{n}) (= Δ_{i})$, где $i∈\{1,…,n\}$. Если $\det A ≠ 0$, то очевидно $x_{i} = \frac{Δ_{i}}{\det A}$

На всякий случай, СЛАУ совместна, когда в её ступенчатом виде нету строк вида $\begin{pmatrix}0 & … & 0 & λ\end{pmatrix}, λ≠0$. Т.е. нет уравнения $0 = λ$. ОСЛАУ всегда совместна, т.к. есть решение $x=0$.

#Союзная матрица (Конспект)

Это транспонированная матрица алгебраических дополнений: $$\tilde{A} = \begin{pmatrix} A_{11} & … & A_{1n} \\ … & & … \\ A_{n1} & … & A_{nn} \end{pmatrix}^T$$

#Обратная матрица (Конспект)

Матрица $A^{-1}$ обратная к $A$, iff $A^{-1}·A = A·A^{-1} = E$

Она существует, iff $\det A ≠ 0$

#Формула вычисления обратной матрицы

#Миноры матрицы

Минором $k$-го порядка матрицы $A$ называют определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении произвольных $k$ строки и $k$ столбцов.

Обозначается как $M_{i_{1}…i_{k}}^{j_{1}…j_{k}}$, где $i_{k}$ — номера строк, a $j_{i}$ — номера столбцов.

#Ранг матрицы (Конспект)

$\Rg A$ = наивысший порядок отличного от нуля минора

#Базисный минор

Минор $M$ базисный, iff $M ≠ 0$ и порядок (размер) $M$ равен рангу матрицы.

Состоит из базисных строк и столбцов.

#Линейная комбинация (Конспект)

Если даны векторы $a_{1},…, a_{s}$ одинакового размера, то $λ_{1}a_{1} + λ_{2}a_{2} + … + λ_{s}a_{s}$ — их линейная комбинация ($λ_{i}$ — числа).

Если все $λ_{i}$ равны нулю, то комбинация называется тривиальной.

#Линейная зависимость (Конспект)

Строки $a_{1},…,a_{s}$ линейно зависимы, iff существует нетривиальная линейная комбинация $λ_{1}a_{1} + … + λ_{s}a_{s} = 0$.

Очевидно, всегда существует тривиальная, где $λ_{1} = λ_{2} = … = λ_{s} = 0$

#Линейно независимые строки (столбцы) (Конспект)

Столбцы л.н.з., iff не существует нетривиальной их линейной комбинации, равной нулю. Короче говоря, когда они не линейно зависимы.

#Критерий линейной зависимости (Конспект)

$a_{1}, …, a_{s}$ — л.з. iff хотя бы один из них выражается через остальные.

Например, выразим $a_{s}$: $∃λ_{1},…,λ_{s}: λ_{1}a_{1} + λ_{2}a_{2} + … + λ_{s-1}a_{s-1} = λ_{s}a_{s}$

#Теорема о базисном миноре (Конспект)

1. Базисные строки (столбцы), соответствующие любому базисному минору $M$ будут л.н.з.
2. Строки (столбцы), не входящие в $M$ выражаются через линейную комбинацию базисных.

#Теорема о ранге матрицы (Конспект)

Ранг матрицы равен максимальному числу л.н.з. строк (столбцов)

#Теорема об окаймляющем миноре (Конспект)

Если в матрице есть ненулевой минор порядка $\Rg M$, то все окаймляющие миноры равны нулю.

#Ранг транспонированной матрицы

Ранг матрицы не меняется при транспонировании

#Критерий невырожденности квадратной матрицы (Конспект)

Следующие условия эквивалентны ($A ∈ M_{n}(ℝ)$):

1. $\det A ≠ 0$ (матрица невырожденна)
2. $\Rg A = n$, $n$ — размер матрицы
3. Все строки (столбцы) л.н.з.

#Свойства решений СЛАУ (Конспект)

1. Линейная комбинация решений ОСЛАУ тоже является решением
2. $x$ — решение СЛАУ $Ax=b$, а $y$ — решение соответствующей ОСЛАУ $Ax=0$. Тогда их сумма тоже решение СЛАУ $Ax = b$
3. $x, y$ — решения СЛАУ. Тогда $x-y$ — решение соответствующей ОСЛАУ.

#Теорема Кронекера-Капелли (Конспект)

СЛАУ $A·x = b$ совместна ⇔ $\Rg A = \Rg (A|b)$

#ФСР ОСЛАУ (Конспект)

Пусть $n$ — размер матрицы $A$, а $r$ — её ранг. Любые $n - r$ л.н.з. столбцов, явлюящихся решениями $Ax = 0$, образуют ФСР.

#Критерий существования ненулевого решения (Конспект)

ОСЛАУ $A·x = 0$ имеет ненулевое решение iff $\det A = 0$ (матрица $A$ вырождена)

#Структура общего решения однородной СЛАУ (Конспект)

Любое решение ОСЛАУ можно представить в виде линейной комбинации столбцов её ФСР: $x = c_{1}Φ_{1} + … + c_{k}Φ_{k}$

#Структура общего решения неоднородной СЛАУ (Конспект)

Любое решение СЛАУ можно представить в виду $x = \tilde{x} + c_{1}Φ_{1} + … + c_{k}Φ_{k}$, где $\tilde{x}$ — частное решение СЛАУ.

#Формы записи комплексных чисел (Конспект)

1. $z = x + iy, x,y∈ℝ$ — алгебраическая форма
2. $z = r(\cos φ + i\sin φ)$ — тригонометрическая форма
   • $r = |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
   • $\cos φ = \frac{x}{r}$
   • $\sin φ = \frac{y}{r}$

#Модуль, аргумент и его главное значение у комплексного числа (Конспект)

• Модуль: $|z| = r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
• Аргумент: $φ = \Arg z = \{\arg z + 2πk | k∈ℤ\}$ — угол положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором числа $z$
• Главное значение: $\arg z ∈ [0, 2π) \text{ или } ∈ (-π, π]$

#Сложение и умножение комплексных чисел (Конспект)

• Сложение: $(x_{1} + iy_{1}) + (x_{2} + iy_{2}) = (x_{1} + x_{2}) + i(y_{1} + y_{2})$
• Умножение: $(x_{1} + iy_{1})(x_{2} + iy_{2}) = (x_{1}x_{1} - y_{1}y_{2}) + i(x_{1}y_{2} + y_{1}x_{2})$
• В тр. форме: $r_{1}(\cos φ_{1} + i\sin φ_{1}) · r_{2}(\cos φ_{2} + i\sin φ_{2}) = r_{1}r_{2}(\cos (φ_{1} + φ_{2}) + i\sin(φ_{1} + φ_{2}))$ — аргументы складываются, модули уножаются
• Деление: $r_{1}(\cos φ_{1} + i\sin φ_{1}) : r_{2}(\cos φ_{2} + i\sin φ_{2}) = \frac{r_{1}}{r_{2}}(\cos (φ_{1} - φ_{2}) + i\sin(φ_{1} - φ_{2}))$ — аргументы вычитаются, модули делятся

#Комплексное сопряжение и деление (Конспект)

#Формула Муавра (Конспект)

#Корни n-ой степени из комплексного числа (Конспект)

На комплексной плоскости все корни располагаются на окружности с радиусом $|z|$ на равных углах друг от друга. В том числе и само число $z$.

FIXME: Как-нибудь надо сюда добавить эскиз

#Основная теорема алгебры (Конспект)

Или в известных на тот момент обозначениях:

Для любого многочлена $a_{n}z^{n} + a_{n-1}z^{n-1} + … + a_{1}z + a_{0} = 0$ существует корень $z_{0} ∈ ℂ$

Или «поле $ℂ$ алгебраически замкнуто».

#Теорема Безу (Конспект)

Остаток от деления многочлена $f(x)$ на $x-c$ равен $f(c)$

#Формула Эйлера (Конспект)

#Формулы Виета для третьей степени (Конспект)

#Неприводимый многочлен (Конспект)

$f$ непприводимый, iff $∄g, h: f = g·h$

#О разложении многочлена над ℂ (Конспект)

Всякий многочлен степени $n > 0$ разлагается в произведение неприводимых многочленов.

Комплексный многочлен степени n разлагается в произведение: $P_{n}(z) = a_{n}(z-z_{1})^{α_{1}}·…·(z-z_{k})^{α_{k}}$, где сумма кратностей $α_{1} + … + α_{k} = n$ и $z_{i}∈ℂ$

Т.е. все комплексные многочлены раскладываются на многочлены не выше первой степени.

#Геометрический вектор

Это направленный отрезок.

• Длина вектора — длина отрезка
• Нулевой — если начало и конец совпадают
• Единичный (орт) — если длина равна $1$

#Коллинеарность векторов

Векторы коллинеарны, iff они лежат на одной или на параллельных прямых.

Нулевой коллинеарен любому вектору.

Коллинераные векторы либо сонаправлены, либо нет.

#Сумма векторов

$\Vc = \Va + \Vb$, iff $\Vb$ приложен к концу $\Va$, а вектор $\Vc$ идёт из начала $\Va$ в конец $\Vb$

Свойства:

1. Коммутативность: $\Va + \Vb = \Vb + \Va$
2. Ассоциативность: $\Va + (\Vb + \Vc) = (\Va + \Vb) + \Vc$
3. Существует нейтральный по сложению: $\Va + \Vo = \Va$
4. Все обратимы: $∀\Va ∃\Vb: \Va + \Vb = \Vo$

Разность векторов: $\Vc = \Va - \Vb$, iff $\Vc + \Vb = \Va$

#Произведение вектора на число

$λ\Va$ обладает определяется свойствами:

1. $|λ\Va| = |λ| · |\Va|$
2. $λ\Va \codir \Va$, если $λ≥0$ и $λ\Va \difdir \Va$ при $λ ≤ 0$

При $λ = 0$, $λ\Va ≡ \Vo$

Свойства:

1. $(λμ)\Va = λ(μ\Va)$
2. $λ(\Va + \Vb) = λ\Va + λ\Vb$
3. $(λμ)\Va = λ\Va + μ\Va$

#Угол меджу векторами

Угол между $φ$ всегда $∈ [0, π]$. Тогда

• $\Va \codir \Vb ⇔ φ = 0$
• $\Va \difdir \Vb ⇔ φ = π$
• вектора ортогональны iff $φ = \frac{π}{2}$

#Проекция вектора

$\pr_{\Vb} \Va = |\Va| \cos φ$ — ортогональная проекция вектора $\Va$ на $\Vb$ ($φ$ — угол между ними)

Свойства:

1. Если $\Va ≠ \Vo$, то $\pr_{\Ve}\Va = \begin{cases} >0, & φ \text{ острый} \\ =0, & φ = \frac{π}{2} \\ <0, & φ \text{ тупой} \end{cases}$
2. $\pr_{\Ve}(\Va + \Vb) = \pr_{\Ve}\Va + \pr_{\Ve}\Vb$
3. $\pr_{\Ve}(λ\Va) = λ\pr_{\Ve}\Va$

Векторная проекция: $$|\Va|·\cosφ·\frac{\Vb}{|\Vb|} = \frac{(\Va, \Vb)}{(\Vb, \Vb)}\Vb$$

#Скалярное произведение векторов

Функция определяется свойствами:

1. Коммутативность: $(\Va, \Vb) = (\Vb, \Va)$
2. Линейность: $(λ\Va, \Vb) = λ(\Va, \Vb)$
3. Линейность: $(\Va + \Vb, \Vc) = (\Va, \Vc) + (\Vb, \Vc)$
4. Положительная определённость: $(\Va, \Va) > 0$, если $\Va ≠ \Vo$
5. Невырожденность: $(\Va, \Va) = 0$, iff $\Va = \Vo$

Например, на $𝕍_{3}$ функция $|\Vb||\Va|\cos(φ)$

#Ортонормированный базис

Базис — упорядоченный набор векторов $a_{1},…,a_{k}$ со свойствами:

1. $a_{1},…,a_{k}$ — линейно независимы.
2. Произвольный вектор выражается в виде линейной комбинации $a_{1},…,a_{k}$

Базис называется ортонормированным, iff $$(a_{i}, a_{j}) = δ_{i}^{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i≠j \end{cases}$$

Например, взаимно перпендикулярные векторы $\Vi, \Vj, \Vk$ в $𝕍_{3}$.

#Вычисление скалярного произведения в правом ОНБ

Теорема: Если $\Vi, \Vj, \Vk$ — ОНБ, то $(\Va, \Vb) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

#Общая алгебра: терминология (Конспект)

Операция называется…

• Ассоциативной, iff $a×(b×c) ≡ (a×b)×c$ (расстановка скобок не важна)
• Коммутативной, iff $a×b ≡ b×a$ (порядок аргументов не важен)

Отображение $f: X → Y$ называется...

• Сюръективным: $∀y∈Y\,∃x∈X: y = f(x)$ — во все $Y$ ведёт стрелка.
• Инъективным: $∀x_{1}, x_{2}∈X\, (x_{1}≠x_{2}) → (f(x_{1})≠f(x_{2}))$ — не склеивает
• Биективным: когда и сюръективно, и инъективно. Взавимно-однозначное соответствие.

Элемент множества называется…

• Нейтральным ($e$), iff $∀x\, e·x = x·e = x$
• Обратным ($x^{-1}$), iff $x^{-1} · x = x · x^{-1} = e$. Соответственно $x$ — обратимый, iff $∃x^{-1}$

#Теория групп

Пусть есть операция и множество. Тогда они вместе образуют… (каждое следующее накладывает всё большие ограничения)

• Полугруппу: операция ассоциативна
  • $ℕ ∖ \{1\}$ с умножением
• Моноид: есть нейтральный элемент
  • $(ℕ, ·)$
  • $M(Ω)$ – множество отображений множества $Ω$ в себя операцией композиции ($e = id$)
• Группу: все элементы обратимы
  • $GL_{n}(ℝ)$ — общая линйеная группа
  • $SL_{n}(ℝ)$ — специальная линейная группа
  • $S_{n}$ — симметрическая группа
• Абелеву группу: операция коммутативна
  • Векторы в $V_{3}$ с сложением
  • $(ℤ, +)$

#Делители нуля

Если $∃x≠0, y≠0: xy = 0$, то они называются делителями нуля: левым и правым.

#Кольцо и поле (Конспект)

$(K, +, ·)$ — кольцо, iff

1. $(G, +)$ — абелева группа
2. $(K, ·)$ – полугруппа
3. $(a+b)·c = a·c + b·c$ и $c·(a+b) = c·a + c·b$

Тогда:

• тривиальное кольцо: $\{0\}$
• кольцо с единицей, iff $(K, ·)$ — моноид
• коммутативное кольцо, iff умножение коммутативно: $a·b ≡ b·a$
• целостное кольцо — коммутативное кольцо с $1≠0$ и без делителей нуля.
• поле — коммутативное кольцо с единицей ($1≠0$), в котором каждый элемент (кроме нуля) обратим.
• $(K, +)$ — аддитивная группа кольца
• $(K, ·)$ мультипликативная полугруппа
• $U(K)$ — мультипликативная группа, состоит из всех обратимых элементов кольца с единицей.
• $L⊆K$ — подкольцо, iff $∀x,y ∈ L$
  1. $x-y ∈ L$ (т.е. $(L, +)$ — абелева подгруппа)
  2. $x·y ∈ L$ (т.е. $(L, ·)$ замкнуто)

Например,

• $(ℤ, +, ·)$, $ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ$ — поля и подполя, также коммутативные кольца
• $(M_{n}(ℝ), +, ·)$ — полное матричное кольцо (из квадратных матриц $n×n$ с матричным умножнением) — некоммутативно

Из групп наследуются понятия:

• обратимости элемента: $x^{-1}: x·x^{-1} = x^{-1}·x = 1$
• прямой суммы (и сложение, и умножение покомпонентны)
• гомоморфизма: $φ(x·y) = φ(x) * φ(y)$

#Линейное пространство (Конспект)

$F$ — поле; $V$ — множество, на котором заданы сложение ($V+V → V$) и умножение на число $λ∈F$

$V$ является линейным пространством iff ($∀x, y, z∈V, ∀λ,μ∈F$)

1. $x + y = y + x$ — коммутативность сложения
2. $(x + y) + z = x + (y + z)$ — ассоциативность сложения
3. $∃0 ∈ V: x + 0 = 0 + x = x$ — нейтральный по сложению
4. $∃(-x)∈V: x + (-x) = 0$ — обратный по сложению
5. $∃1∈F : 1·x = x$ — нейтральный по умножению на число
6. $μ(λx) = (μλ)x$ — ассоциативность умножения на число
7. $(λ + μ)x = λx + μx$ — дистрибутивность относительно сложения чисел
8. $λ(x+y) = λx + λy$ — дистрибутивность относительно сложения векторов

Элементы множества называются векторами. Примеры:

• $V_{3}$ — геометричесие векторы
• $F^{n}$, где $F$ поле. Операции (чаще всего) заданы покомпонентно.
• $A·x=0$ — ОСЛАУ, тогда множество решений будет линйеным пространством.

#Базис линейного пространства (Конспект)

Базис это упорядоченный набор л.н.з. векторов, через которые можно выразить любой вектор пространства (линейной комбинацией): $$∀x∈V\, ∃x_{1},…,x_{n} : x = x_{1}b_{1} + … + x_{n}b_{n}$$ Причём числа $x_{1},…,x_{n}$ называют координатами вектора $x$ в базисе $b_{1},…,b_{n}$. И такое разложение единственно.

#Гомоморфизм групп (Конспект)

Отображение $φ: G → H$ является гомоморфизмом групп, iff $∀x,y\, φ(x·y) = φ(x)×φ(y)$

• $φ = \det$: отображает $GL_{n}(ℝ)$ в $(ℝ∖\{0\}, ·)$.

Свойства:

1. $φ(e_g) = e_h$
2. $φ(g)^{-1} = φ(g^{-1})$

#Линейное отображение (Конспект)

Отображение $φ: V_{1} → V_{2}$ — линейное iff

$V_{1}$ и $V_{2}$ — линейные пространства над $𝔽$. $∀u, v ∈ V_{1}, ∀λ∈𝔽$

1. $φ(u + v) = φ(u) + φ(v)$
2. $φ(λu) = λφ(u)$

Это гомоморфизм линейных пространств.

Примеры:

• В лин. пространстве матриц $m×n$ можно зафиксировать матрицу $A$ и получить $φ(X) = A·X$

Если $φ: V → V$ (в себя), то это линейный оператор.

#Матрица лин. отображения (Конспект)

Пусть $e_{1},…,e_{n}$ — базис в $V_{1}$, а $f_{1},…,f_{m}$ — в $V_{2}$. $φ: V_{1} → V_{2}$ — лин. отображение.

$$A_{ef} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋱ & ⋮ \\ a_{m1} & … & … & a_{mn} \end{pmatrix}$$ Взяли векторы $φ(e_{1}), …, φ(e_{n})$, нашли их координаты в базисе $f_{1},…,f_{m}$ и записали эти координаты в матрицу по столбцам.

#Билинейная форма (Конспект)

Функция $φ: V×V → ℝ$, где $V$ — линейное пространство над $ℝ$ является билинейной формой, iff $∀x,y,z∈V, ∀α,β∈ℝ$

1. $φ(αx + βy, z) = αφ(x, z) + βφ(y, z)$
2. $φ(x, αy + βz) = αφ(x, y) + βφ(x, z)x$

Например, скалярное произведение.

• билинейная iff $φ(x, y) = φ(y, x)$
• кососимметрическая iff $φ(x, y) = -φ(y, x)$

#Евклидово пространство (Конспект)

$V$ — пространство над $ℝ$, а $g: V×V → ℝ$ — «скалярное произведение»

• $g(x, y) ≡ g(y, x)$ — симметричность
• $g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z)$ — линейность
• $g(λx, y) = λg(x, y)$
• $x ≠ 0 ⇔ g(x, x) > 0$ — положительная определённость
• $x = 0 ⇔ g(x, x) = 0 = g(0, 0)$

(т.е. симметрическая положительно определённая билинейная форма)

$𝓔 = (V, g)$ — евклидово пространство.

Например, $V_{3}$ — геометрические векторы с скалярным произведением.

Тогда

• $|| v || = \sqrt{g(v, v)}$ — норма (длина) вектора
• $\cos φ = \frac{g(x, y)}{||x|| · ||y||}$ — угол между $x$ и $y$
• Часто опускают $g$ и пишут просто $(x, y)$

#Матрица Грама (Конспект)

Это матрица линейного оператора, где $φ(x, y) = g(x, y)$ — т.е. матрица скалярного произведения.

Пусть $a_{1} ,…, a_{n}$ — базис в $𝓔$. $$Γ = \begin{pmatrix} g(a_{1}, a_{1}) & … & g(a_{1}, a_{n}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ g(a_{n}, a_{1}) & … & g(a_{n}, a_{n}) \end{pmatrix}$$

Если что, матрица симметрическая.

#Скалярное произведение в произвольном базисе

В базисе $\{\Ve_{1}, \Ve_{2}, \Ve_{3}\}$ матрица Грама: $$Γ = \begin{pmatrix} (\Ve_{1}, \Ve_{1}) & (\Ve_{1}, \Ve_{2}) & (\Ve_{1}, \Ve_{3}) \\ (\Ve_{2}, \Ve_{1}) & (\Ve_{2}, \Ve_{2}) & (\Ve_{2}, \Ve_{3}) \\ (\Ve_{3}, \Ve_{1}) & (\Ve_{3}, \Ve_{2}) & (\Ve_{3}, \Ve_{3}) \end{pmatrix}$$

Тогда скалярное произведение векторов $\Va = a_{1}\Ve_{1} + a_{2}\Ve_{2} + a_{3}\Ve_{3}$ и $\Vb = b_{1}\Ve_{1} + b_{2}\Ve_{2} + b_{3}\Ve_{3}$ вычисляется по следующей формуле: $$(\Va, \Vb) = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{pmatrix} Γ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix}$$

#Левые и правые тройки векторов

Упорядоченная тройка $\Va, \Vb, \Vc$ — правая, если со стороны $\Vc$ кратчайший поворот от $\Va$ к $\Vb$ осуществляется против часовой стрелки. Если по часовой, то она левая.

#Векторное произведение векторов

$\Vc = \Va × \Vb$, iff

1. $|\Vc| = |\Va| · |\Vb| · \sin φ$, где $φ$ — угол между $\Va$ и $\Vb$
2. $\Vc ⊥ \Va, \Vc ⊥ \Vb$
3. Тройка $\Va, \Vb, \Vc$ — правая

Свойства:

1. $\Va × \Vb = - (\Vb × \Va)$ — антикоммутативность
2. $(λ\Va) × \Vb = λ(\Va × \Vb)$
3. $(\Va + \Vb) × \Vc = (\Va × \Vc) + (\Vb × \Vc)$
4. $\Va × \Va = \Vo$ — следствие антикоммутативности
5. Векторы коллинераны, iff $\Va × \Vb = 0$
6. Если они не коллинеарны, то произведение (по модулю) равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах

Важно помнить про первые три свойства — они же алгебраические

#Векторное произведение в ОНБ

Если координаты заданы в правом ОНБ, то векторное произведение вычисляется так: $$\Va × \Vb = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = ( a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x )$$

#Смешанное произведение векторов

$⟨\Va, \Vb, \Vc⟩$ это число $(\Va × \Vb, \Vc)$ — скалярное произведение векторного и $\Vc$

1. $(\Va × \Vb, \Vc) = (\Va, \Vb × \Vc)$
2. Если $V$ — объём параллелипеда, то $(\Va×\Vb, \Vc) = \begin{cases} V, & \Va, \Vb, \Vc \text{ — правая тройка} \\ -V, & \Va, \Vb, \Vc \text{ — левая тройка} \end{cases}$
3. Объём тетраэдра равен $\frac{1}{6} |⟨\Va, \Vb, \Vc⟩|$
4. Векторы компланарны, iff $⟨\Va, \Vb, \Vc⟩ = 0$
5. Если любые два вектора совпадают, то $⟨\Va, \Vb, \Vc⟩ = 0$

В правом ОНБ вычисляется так: $$⟨\Va, \Vb, \Vc⟩ = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$$

#Прямоугольная декартова система координат

Определяется парой из точки $O$ и ОНБ $\Vi, \Vj, \Vk$. Подразумевается, что ОНБ правый.

• $O$ — начало ПДСК
• $\Vi$ — задаёт ось абсцисс
• $\Vj$ — задаёт ось ординат
• $\Vk$ — задаёт ось аппликат

Координаты точки $M$ в ПДСК — координаты радиус-вектора $\vec{OM}$ в базисе $\Vi, \Vj, \Vk$.

#Уравнение поверхности

Рассмотрим ПДСК $O_{xyz}$ и поверхность $S$:

$F(x, y, z) = 0$ — уравнение поверхности, если ему удоволтеворяют только точки, лежащие на ней.

Тогда поверхность $S$ называют геометрическим образом уравнения.

Совершенно аналогично определяется уравнение кривой в $O_{xy}$ (на плоскости)

#Плоскость в пространстве

1. Любая плоскость определяется уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ ($A, B, C, D$ — числа).
2. Любое уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ определяет плоскость, где $A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0$
3. Такое уравнение называется общим уравнением плоскости.
4. $\Vn = (A, B, C)$ — нормаль к плоскости — перпендикулярна ей.

#Плоскость через три точки

Даны точки $M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}), M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}), M_{3}(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ не лежащие на одной прямой.

Тогда в ОНБ следующий определитель будет уравнением плоскости: $$F(x, y, z) = \begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{vmatrix} = 0$$

#Прямая в пространстве

Пусть $P_{1}$ и $P_{2}$ — плоскости. Тогда если они не параллельны, то они пересеакются по прямой. Т.е. все точки на прямой принадлежат обоим плоскостям.

Общие уравнения прямой: $$\begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \end{cases}$$

Векторное уравнение:

Даны $M_{0} ∈ L$ и вектор $\Vs ∥ L$. Тогда $M∈L$ iff $∃t: \vec{M_{0}M} = t\Vs$

Параметрическое уравнение (как векторное, но в координатах): $$\begin{cases} x - x_{0} = tl \\ y - y_{0} = tm \\ z - z_{0} = tn \end{cases}, t∈ℝ$$

Каноническое уравнение: $$t = \frac{x-x_{0}}{l} = \frac{y-y_{0}}{m} = \frac{z-z_{0}}{n}$$

Через две точки: $$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$$

#Взаимное положение прямой и плоскости

1. Прямая параллельна плоскости или лежит в ней: iff $\Vn ⊥ \Vs$ (в ОНБ: $Al + Bm + Cn = 0$)
2. Прямая лежит в плоскости: надо добавить, что хотя бы одна точка на прямой лежит в плоскости. В ОНБ: $\begin{cases} Al + Bm + Cn = 0 \\ Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D = 0 \end{cases}$
3. Прямая пересекает плоскость в одной точке. Тогда найдём угол $φ$ между ними: $$\sin φ = |\cos ψ| = \left| \frac{(\Vn, \Vs)}{|\Vn| · |\Vs|} \right| \overset{\text{в ОНБ}}{=} \left| \frac{Al + Bm + Cn}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} \sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}}} \right|$$

#Компланарность прямых

Пусть даны две прямые: $L_{1}: M_{1} + λ\vec{s_{1}}$ и $L_{2}: M_{2} + μ\vec{s_{2}}$. Они компланарны ⇔ $\vec{M_{1}M_{2}}, \vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}$ компланрны: $$⟨\vec{M_{1}M_{2}}, \vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}⟩ = 0 \\ \overset{\text{в ОНБ}}{⇔} \begin{vmatrix} x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \end{vmatrix} = 0$$

#Взаимное расположение прямых

1. Они параллельны: направляющие векторы параллельны ⇔ $∃λ∈ℝ: \vec{s_{1}} = λ\vec{s_{2}}$ ⇔ в координатах: $$\vec{s_{1}} = (l_{1}, m_{1}, n_{1}); \vec{s_{2}} = (l_{2}, m_{2}, n_{2}) \\ L_{1} ∥ L_{2} ⇔ \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}}$$
2. Они скрещиваются, если они не компланарны.
3. Они пересекаются. Т.е. лежат в одной плоскости, но не параллельны.

Угол между прямыми: $$\cos φ = |\cos ∠(\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}})| = \frac{|(\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}})|}{|\vec{s_{1}}|·|\vec{s_{2}}|} \overset{\text{в ОНБ}}{=} \frac{|l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2}|}{\sqrt{l_{1}^{2} + m_{1}^{2} + n_{1}^{2}} \sqrt{l_{2}^{2} + m_{2}^{2} + n_{2}^{2}}}$$

#Расстояние от точки до прямой

#Расстояние между параллельными прямыми

#Расстояние между скрещивающимися прямыми

#Расстояние от точки до плоскости

#Подгруппа (Конспект)

$H$ — подгруппа в группе $G$, iff

1. $H ⊆ G$
2. $e ∈ H$
3. $∀x,y ∈ H\, x·y ∈ H$ — $H$ замункто по операции.
4. $∀x ∈ H\, x^{-1} ∈ H$ — замкнуто по взятию обратного элемента.

#Симметрическая группа (Конспект)

$S_{n}$ — симметрическая группа — множество всех подстановок длины $n$ с операцией композиции — группа симметрий.

Содержит $n!$ элементов

$A_{n}$ — знакопеременная группа — все чётные подстановки длины $n$ с операцией композиции. Является подгруппой в $S_{n}$

$|A_{n}| = \frac{n!}{2}$

#Общая и специальная линейные группы (Конспект)

• $GL_{n}(𝔽)$ — общая линейная группа: множество всех невырожденных матриц размера $n×n$ с операцией матричного умножения.
• $SL_{n}(𝔽)$ — специальная линейная группа: $\{ A∈GL_{n}(𝔽) \mid \det A = 1 \}$. Является подгруппой $GL_{n}(𝔽)$.

#Группы Диэдра

$D_{n}$ – группа симетрий правильного n-угольника. Состоит из $n$ вращений и $n$ симметрий. Т.е. в ней $2n$ элементов.

$$D_{n} = \{ r, s \mid r^{n} = 1, s^{2} = 1, s^{-1}rs = r^{-1} \}$$ Т.е.

• $n$ раз повернуть возвращает фигуру в исходный вид.
• Если отразить дважды, то ничего не изменится.
• Отразить, повернуть и ещё отразить — всё равно что так же повернуть в другую сторону.

Утверждается, что $D_{3} ≅ S_{3}$.

#Изоморфизм групп (Конспект)

Изоморфизм это биективный гоморфизм

• $φ = \exp$: отображает $(ℝ, +)$ в $(ℝ_{+}, ·)$

Свойства:

1. $φ^{-1}$ — тоже изоморфизм.

#Порядок элемента группы (Конспект)

$\ord g$ это наименьшее такое $n∈ℕ$, что $g^{n} = g·g·…·g = e$

#Циклическая группа, порождённая g (Конспект)

Пусть $g ∈ G$.

• $⟨g⟩$ — циклическая группа, порождённая $g$
• $|⟨g⟩| = \ord g$ — порядок группы равен порядку порождающего элемента

Например, $(ℤ, +) = ⟨1⟩$

#Сколько циклических групп одного порядка? (Конспект)

Все циклические группы одного порядка изоморфны. Т.е. существует только одна циклическая группа данного порядка (с точностью до изоморфизма)

#Ядро гомоморфизма (Конспект)

• Всегда $e_G ∈ \Ker f$.

• Если $\Ker f = \{e_G\}$, то ядро называется тривиальным.

• $\Ker f$ — подгруппа в $G$

#Критерий инъективности

Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда его ядро тривиально.

#Идеал (Конспект)

Это подмножество кольца со свойствами:

1. Подгруппа кольца по сложению
2. $∀a∈I\, ∀r∈K\, r·a∈I ∧ a·r∈I$ — при умножении эл.-а кольца на эл.-т идеала остаемся в нём же

Идеал главный, iff $∃a∈K: I = aK = \{a·r \mid r∈K\}$, тогда идеал $I$ порождён $a$. В $ℤ$ все идеалы главные.

#Ядро является идеалом

Ядро гомоморфизма колец является идеалом.

#Смежный класс (Конспект)

Пусть $H⊆G$ и $g ∈ G$. Тогда левый смежный класс элемента $g$ по подгруппе $H$ это множество $gH = \{ g·h \mid h ∈ H \}$

Леммы (для доказательства теоремы Лагранжа):

1. $∀g_{1}, g_{2}∈G$ либо $g_{1}H = g_{2}H$, либо $g_{1}H ∩ g_{2}H = ∅$. Т.е. смежные классы либо равны, либо не пересекаются.
2. Для конечных подгрупп: $|gH| = |H|$ для всех $g∈G$. Отсюда в смежных классах одинаковое количество элементов.

#Индекс подгруппы (Конспект)

$[G : H]$ — число левых смежных классов в $G$ по подгруппе $H$ ($gH$).

#Теорема Лагранжа (Конспект)

Пусть $G$ — конечная группа, а $H$ — её подгруппа. Тогда $|G| = |H| · [G : H]$

#Следствия из т. Лагранжа (Конспект)

1. $\ord g$ всегда делит $|G|$ ($g∈G$ — произвольный элемент)
2. $g^{|G|} = \bar{1}$
3. Малая теорема Ферма: $\bar{a}^{p-1} = \bar{1}$, где $\bar{x}$ — ненулевой вычет по простому модулю $p$.

#Подгруппы целых по сложению (Конспект)

Всякая подгруппа $(ℤ, +)$ имеет вид $kℤ$, где $k∈ℕ∪\{0\}$

#Нормальная подгруппа (Конспект)

$H ⊲ G$ iff $gH = Hg, ∀g∈G$

Очевидно, что абелевы группы — нормальные (там все элементы коммутируют).

#Критерий нормальности через сопряжение (Конспект)

Пусть $H ⊆ G$. Все условия эквивалентны:

1. $H ⊲ G$, т.е. $gH = Hg, ∀g∈G$
2. $∀g∈G\, gHg^{-1} ⊆ H$ ($gHg^{-1} = \{ghg^{-1} \mid h ∈ H\}$)
3. $∀g∈G\, gHg^{-1} = H$

#Критерий нормальности через ядро гомоморфизма (Конспект)

$H ⊲ G$ iff $∃f: H=\Ker f$, где $f: G→F$ — гомоморфизм

#Факторгруппа (Конспект)

Пусть $H ⊲ G$, тогда $G/H$ — множество левых смежных классов по $H$ — называется факторгруппой.

Групповая операция: $(g_{1}H)·(g_{2}H) = (g_{1}·g_{2})H$

1. Есть ассоциативность, из ассоциативности в $G$
2. Есть нейтральный элемент: $e_G H$
3. Есть обратный элемент: $(gH)^{-1} = g^{-1}H$

#Естественный гомоморфизм (Конспект)

$ε: G→G/H$ — сопоставляет элементу $g$ класс смежности $gH$: $ε(g) = gH$

#Теорема о гомоморфизме групп (Конспект)

Если $f: G→F$ — гомоморфизм, то $\Im(f) ≅ G/\Ker(f)$.

И кстати, $\Im(f)$ всегда подгруппа в $F$, а $\Ker(f)$ — нормальная в $G$.

Пример:

• $G = ℤ$, $F = ℤ_{5}$
• $f(x) = x mod 5$
• $\Im(f) = ℤ_{5}$
• $\Ker(f) = 5ℤ$
• ⇒ $ℤ_{5} ≅ ℤ / 5ℤ$

#Прямое произведение групп (Конспект)

$(G, +)×(D, ·) = (G×D, *)$, где:

• $G×D = \{(g, d) \mid g∈G, d∈D\}$
• $(g_{1}, d_{1})*(g_{2}, d_{2}) = (g_{1}+g_{2}, d_{1}·d_{2})$

#Центр группы (Конспект)

• $Z(G) = G$ ⇔ $G$ — абелева группа
• $Z(G) ⊲ G$ всегда

#Автоморфизм (Конспект)

Это изоморфизмы $f: G→G$. Они образуют группу $Aut(G)$

Внутрениий автоморфизм $I_{a} = g↦aga^{-1}$

Внутренние образуют группу $Inn(G)$, причём $G/Z(G) ≅ Inn(G)$ (факторгруппа по центру группы)

#Теорема Кэли (Конспект)

Любая конечная группа порядка $n$ изоморфна некоторой подгруппе $S_{n}$

#Кольцо вычетов

Построим $ℤ_{n}$:

• Возьмём подгруппу $nℤ$ — она будет нормальной, т.к. $nℤn^{-1} = ℤ$.
• Рассмотрим числа $g=1, 2, …$. Возьмём их смежные классы по $H=nℤ$. Например, $3H = \{3·h \mid h∈nℤ\} = \{3·nz \mid z∈ℤ \}$. Таких смежных классов есть $n$ штук, поскольку классы $gH$ и $(g+n)H$ совпадают ($(g+n)nz_{1} = gnz_{1} + n^{2}z_{1} = gn(z_{1}+nz_{1}) = gnz_{2}$).
• Рассмотрим $ℤ/nℤ$ — выберем все эти смежные классы и объединим их в группу со сложением. Это и будет $ℤ_{n}$ — группой остатков по $n$.

#Критерий целостности кольца

Нетривиальное коммутативное кольцо с единицей является целостным iff в нём из $ab=ac$ следует $b=c$, если $a≠0$.

#Кольцо многочленов

Обозначается как $𝔽[x]$ — кольцо многочленов с коэффициентами из поля $𝔽$.

Пример идеала $ℝ[x]$: $I = \{ (x^{2}+1)·f(x) \mid f(x)∈ℝ[x] \}$

Всегда является нормальной подгруппой по сложению.

#Характеристика поля (Конспект)

$\Char(P) = q ∈ ℕ$, такое что $\underbrace{1+1+1+…+1}_{q} = 0$. Если такого $q$ не существует, то $\Char(P) = 0$.

• $\Char ℝ = 0$
• $\Char ℤ_{p} = p$, p — простое

Причём характеристика всегда либо $0$, либо простое число (потому что в поле нет делителей нуля).

#Факторкольцо (Конспект)

$K/I$ — факторкольцо кольца $K$ по идеалу $I$

• Оно состоит из факторгруппы по сложению $K/I$
• Операция: $(a+I)(b+I) = a·b + I$
• Можно понимать как множество смежных классов по сложению

#Теорема о гомоморфизме колец (Конспект)

Полностью аналогично теореме для групп

Пусть $φ: K_{1} → K_{2}$ — гомоморфизм, тогда $K_{1}/\Ker(φ) ≅ \Im(φ)$

Например,

• $ℤ/nℤ ≅ ℤ_{n}$, $φ: ℤ → ℤ_{n}$, $\Ker φ = nℤ$

#Подполя (Конспект)

$F ⊂ P$, $P$ — поле, а $F$ — подполе.

1. Расширение поля. Есть $a ∈ P$ и $F ⊂ P$. Рассмотрим пересечение всех подполей $P$, которые содержат и $F$, и $a$. Назовём его $F_{1}$. Это будет расширением поля $F$ при помощи присоединения элемента $a$.

   Например, к $ℚ⊂ℝ$ присоединим $\sqrt{2} ∉ ℚ$. Тогда $F_{1} = ℚ(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a,b∈ℚ \}$

2. Для любого $f(x)∈F[x]$ без корней существует расширение $F_{1} ⊃ F$, в котором $f(x)$ имеет корень.

3. Пересечение подполей тоже является подполем.

#Простое подполе (Конспект)

Наименьшее по включение подполе называется простым подполем. Назовём его $P_{0}$

• $\Char(P) = 0 ⇒ P_{0}≅ℚ$
• $\Char(P) = p > 0 ⇒ P_{0}≅ℤ_{p}$

#Факторкольцо кольца многочленов

$𝔽[x]/ ⟨f(x)⟩$ является полем, iff $f(x)$ неприводим над $𝔽$, т.е. $∄g(x), h(x): g(x)h(x) = f(x)$.

Любое подполе $F_{p^n}$ изоморфно $F_{p^m}$, где $n$ делится на $m$.

#Поле вычетов (Конспект)

$ℤ_{n}$ является полем ⇔ $p$ простое, т.е. не раскладывается на множители

Похоже на то, как факторкольцо кольца многочленов является простым, когда многочлен не раскладывается на множители ($ℤ_{n} = ℤ/nℤ$).

#Алгебраический элемент над подполем (Конспект)

Пусть $F ⊂ P$. $λ∈P$ — алгебраический элемент над подполем $F$, iff $∃f(x) ≠ \const(0), f(x) ∈ F[x]: f(λ) = 0$, т.е. число представимо как корень некоторого многочлена.

Иначе число называется трансцендентным.

($\const(0) = x ↦ 0$)

#Поле рациональных дробей

Пусть $F$ — некоторое поле. $$\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \;\middle|\; f,x∈F[x], g≠0 \right\}$$

#Число элементов в поле (Конспект)

$p$ — простое, $p,n∈ℕ$

1. Число элементов любого поля всегда $p^{n}$
2. Для любого $p^{n}$ $∃! P$, в котором $p^{n}$ элементов (с точностью до изоморфизма). Другими словами, все конечные поля с одинаковым числом элементов изоморфны.
3. Любое конечного поле $F_{p^{n}}$ можно реализовать в виде $ℤ_{p}[x]/⟨h(x)⟩$, где $h(x) ∈ ℤ_{p}[x]$ — неприводимый многочлен степени $n$.

#Китайская теорема об остатках (Конспект)

Пусть $n∈ℤ, n=n_{1}n_{2}…n_{m}$, где $n_{i}$ — взаимно простые. Тогда $ℤ_{n} ≅ ℤ_{n_{1}}×…×ℤ_{n_{m}}$

Здесь особенно полезно воспользоваться тем, что конечные поля одного размера изоморфны

#Размерность пространства (Конспект)

Размерность это максимальное число л.н.з. векторов в пространстве.

Кстати, оно совпадает с числом векторов в базисе.

#Матрица перехода (Конспект)

Пусть $L$ — $n$-мерное пространство, а $A = \{a_{1},…,a_{n}\}$ и $B = \{b_{1},…,b_{n}\}$ — базисы в нём. $$\begin{cases} b_{1} = t_{11}a_{1} + t_{21}a_{2} + … + t_{n1}a_{n} \\ … \\ b_{n} = t_{1n}a_{1} + t_{2n}a_{2} + … + t_{nn}a_{n} \end{cases} \quad T_{A→B} = \begin{pmatrix} t_{11} & … & t_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ t_{n1} & … & t_{nn} \end{pmatrix}$$ Разложили векторы базиса $B$ по базису $A$ и собрали координаты в матрицу $T_{A→B}$.

Тогда: $$T_{A→B}^{-1} = T_{B→A} \\ T_{A→C} = T_{A→B} · T_{B→C} \\ x^a = T_{A→B}·x^b \\ x^b = T_{A→B}^{-1} · x^a = T_{B→A}·x^a$$

#Подпространство (Конспект)

Это подмножество $W⊂V$, которое является пространством относительно тех же операций.

Для проверки на подпространство достаточно проверить замкнутость:

1. $x + y ∈ W$
2. $λ·x ∈ W$

В любом пространстве есть подпространство $\{0\}$

#Линейная оболочка (Конспект)

Множество всех линейных комбинаций набора векторов называется их линейной оболочкой. $$L(a_{1},…,a_{k}) = \{λ_{1}a_{1} + … + λ_{k}a_{k} \mid λ_{i}∈F\}$$

Она всегда является подпространством (если $k≠0$).

• В $V_{3}$ с базисом $i,j,k$: $L(i, j)$ — плоскость $O_{xy}$

Ранг системы векторов $$\Rg(a_{1},…,a_{k}) = dim(L(a_{1},…,a_{k}))$$

Причём $\Rg(a_{1},…,a_{k})$ — равен рангу матрицы, составленной по столбцам координат векторов в некотором базисе.

#Сумма подпространств (Конспект)

• Это множество является подпространством
• $\dim(H_{1} + H_{2}) = \dim(H_{1}) + \dim(H_{2}) - \dim(H_{1}∩H_{2})$
• Отсюда $\dim(H_{1} ∩ H_{2}) = \dim(H_{1}) + \dim(H_{2}) - \dim(H_{1} + H_{2})$ (важно)
• сумма прямая iff $H_{1}∩H_{2} = \{0\}$, т.е. тривиально. Тогда обозначается как $H_{1} ⊕ H_{2}$
• $\dim(H_{1} ⊕ H_{2}) = \dim(H_{1}) + \dim(H_{2})$

#Критерий прямоты суммы

$H_{1} + H_{2}$ — прямая сумма ⇔ $∀x∈H_{1} + H_{2}$ единственным образом представляется как $x = x_{1} + x_{2}, x_{1}∈H_{1}, x_{2}∈H_{2}$.

#Матрица билинейной формы

Билинейную форму удобно записывать в виде матрицы ($e_{1},…,e_{n}$ — базис $V$): $$B = \begin{pmatrix} φ(e_{i}, e_{1}) & … & φ(e_{n}, e_{1}) \\ … & & … \\ φ(e_{n}, e_{1}) & … & φ(e_{n}, e_{n}) \end{pmatrix}_{n×n}$$

Тогда $φ(x, y) = \begin{pmatrix}x_{1} & … & x_{n}\end{pmatrix}·B·\begin{pmatrix}y_{1}\\…\\y_{n}\end{pmatrix}$

Переход от базиса $e$ к базису $f$: $$B_f = T_{e→f}^T · B_e · T_{e→f}$$

#Квадратичная форма (Конспект)

Однородный многочлен второй степени от $n$ переменных: $$Q : V → 𝔽 \\ Q(x) = \Σ^{n}_{i=1} a_{ii}x_{i}^{2} + 2\Σ_{1≤i<j≤n} a_{ij}x_{i}x_{j} \quad ,a_{ij}∈𝔽$$

• Положительно определена iff $∀x≠0\, Q(x) > 0$
• Отрицательно определена iff $∀x≠0\, Q(x) < 0$
• Знакопеременна iff $∃x,y∈V\, Q(x) < 0 < Q(y)$, т.е. существуют значения по обе стороны от нуля.
• Канонический вид: $Q(x) = α_{1}x_{1}^{2} + … + α_{n}x_{n}^{2}$
• Нормальный вид это канонический где $α_{i}∈\{-1, 0, 1\}$

#Матрица квадратичной формы

Пример: $$Q(x) = x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}$$

Переход от базиса $e$ к базису $f$: $$Q_f = T_{e→f}^T · Q_e · T_{e→f}$$

#Инвариантность ранга квадратичной формы

Лемма: Если $A, S ∈ M_{n}(ℝ), \det S ≠ 0$, то $\Rg A = \Rg AS = \Rg SA$

Теорема: Ранг матрицы квадратичной формы не меняется при замене базиса (он не зависит от базиса).

#Как меняется матрица … формы при замене базиса?

$$S^TAS$$ где $S$ — матрица перехода к новому базису

Это включает в себя:

• Билинейную форму
• Квадратичную форму
• Матрицу Грама (которая является билинейной формой)

#Критерий Сильвестра (Конспект)

Квадратичная форма положительная определена iff $Δ_{1}>0, Δ_{2}>0, …, Δ_{n} > 0$.

Отрицательно определена iff $Δ_{1}<0, Δ_{2}>0, Δ_{3}<0,…,(-1)^{n}Δ_{n}>0$ (чередуются, начинаются с минуса).

#Закон инерции квадратичных форм (Конспект)

Канонический вид не единственнен. Выберем любые два: $$Q_{1}(x_{1},…,x_{m}) = λ_{1}x_{1}^{2} + … + λ_{m}x_{m}^{2}, λ_{i}≠0 \\ Q_{2}(y_{1},…,y_{k}) = μ_{1}y_{1}^{2} + … + μ_{k}y_{k}^{2}, μ_{i}≠0 \\ $$

• Кол-во положительных $λ_{i}$ равно кол-ву положительных $μ_{i}$. Это называется $i_{+}$ — положительный индекс инерции
• Аналогично $i_{-}$ — отрицательный индекс
• $m = k = \Rg A = i_{+} + i_{-}$

Иногда (не в нашем курсе):

• $r = i_{+}+i_{-}$
• $s = i_{+}-i_{-}$ — сигнатура, но у нас сигнатура $(i_{+}, i_{-})$

#Замена базиса в матрице лин. отображения (Конспект)

• В $V_{1}$ базисы $ε_{1}$ и $ε_{1}'$, а в $V_{2}$ — $ε_{2}$ и $ε_{2}'$
• Матрица линейного отображения: $A_{ε_{1}ε_{2}}$ в базисах $ε_{1}$ и $ε_{2}$
• Матрицы замены базиса: $T_{ε_{1}→ε_{1}'}$ и $T_{ε_{2}→ε_{2}'}$
• Для лин. оператора $T = T_{ε_{1}→ε_{1}'} = T_{ε_{2}→ε_{2}'}$ ($V_{1} = V_{2}, ε_{1} = ε_{2}, ε_{1}' = ε_{2}'$)

#Образ и ядро линейного отображения (Конспект)

Пусть $φ: V_{1} → V_{2}$ — линейное отображение.

• $\Ker φ = \{ x∈V_{1} \mid φ(x) = 0 \}$
• $\Im φ = \{ y∈V_{2} \mid ∃x∈V_{1} y=φ(x) \}$

Важная связь: $$\dim\Ker φ + \dim\Im φ = \dim V_{2}$$

#Собственные вектор и значение (Конспект)

$λ$ — собственное значение (число), а $x≠0$ — собственный вектор лин. оператора $φ$, iff $φ(x) = λx$

Причём собственные векторы, отвечающие различным значениям, линейно независимы.

#Характеристическое уравнение (Конспект)

Для квадратной матрицы $A$:

Характеристический многочлен: $$χ_A(λ) = \det (A - λE) \\ $$

Характеристическое уравнение: $$χ_A(λ) = 0 ⇔ \det (A - λE) = 0$$

#Спектр (Конспект)

Спектр — множество всех собственных значений конечномерного линейного оператора.

#Критерий собственного значения

Следующее равносильно (для некоторого л.о.):

1. $λ$ — собственное значение
2. $λ$ принадлежит спектру
3. $λ$ — корень $χ(x) = 0$ (над алгебраически замкнутым полем)

#Собственное подпространство

$φ: V → V$ — линейный оператор, а $λ$ — его собственное значение. Тогда множество $V_λ = \{ v ∈ V \mid φ(v) = λv \}$, т.е. множество собственных векторов, соответствующих $λ$.

#Кратность собственного значения (Конспект)

• Алгебраическая — кратность корня $λ$ в характеристическом уравнении.
• Геометрическая — размерность собственного пространство (т.е. максимальное количество л.н.з. соответсвующих собственных векторов ($φ(v) = λv$))
• Геометрическая ≤ алгебраической.

#След матрицы (Конспект)

Это сумма диагональных элементов: $\tr A = \Σ_{i} a_{ii}$

След матрицы лин. оператора не зависит от выбора базиса.

#Диагонализируемость линейного оператора (Конспект)

Определение: Оператор диагонализируем iff существует базис, в котором матрица линейного оператора диагональна.

Это равносильно тому, что все векторы базиса — собственные векторы для оператора.

#Критерий диагонализируемости (Конспект)

Оператор диагонализируем ⇔ алгебраичская кратность всех с.з. совпадает с алгебраической.

#Достаточное условие диагонализируемости (Конспект)

Если у характеристического многочлена есть $n$ различных корней, то линейный оператор диагонализируем.

($n$ — размерность пространства, как обычно)

#Жорданова клетка и нормальная форма (Конспект)

Любой линейный оператор можно привести к жордановой нормальной форме заменой базиса над алгебраически замкнутым полем. Т.е. $∃C∈M_{n}(𝔽): A = CJC^{-1}$ ($\det C ≠ 0$).

$$J = \begin{pmatrix} J_{m_{1}}(λ_{1}) & & … & 0 \\ & J_{m_{2}}(λ_{2}) & … & \\ … & … & … & … \\ 0 & & … & J_{m_{k}}(λ_{k}) \end{pmatrix}$$ — это блочнодиагональная матрица, на диагонали которой находятся жордановы клетки. Здесь $λ_{i}$ — собственные значения.

#Число жордановых клеток

$h_{k}(λ_{i}) = ρ_{k-1} - 2ρ_{k} + ρ_{k+1}$, где $ρ_{j} = \Rg(A - λ_{i}E)^{j}$

Это количество жордановых клеток $J_{k}(λ_{i})$ в ЖНФ (размера $k×k$).

#Теорема Гамильтона-Кэли (Конспект)

Если $A$ — квадратная матрица, то $χ_A(A) = 0$

#Корневое подпространство (Конспект)

Пусть $λ$ — собственное значение с алгебраической кратностью $m$. Тогда корневое подпространство: $Ker(A - λE)^m$

#Инвариантное подпространство (Конспект)

Пусть $φ: V → V$ — линейный оператор и $H ⊆ V$ — подпространство.

Тогда $H$ инварантно относительно $φ$ iff $φ(H) ⊆ H$ (т.е. $∀x∈H\, φ(x)∈H$)

#Минимальный многочлен (Конспект)

Для матрицы $A$ это многочлен $μ(X)$ минимальной степени, такой что $μ(A) = 0$

Другими словами,

1. $μ(A) = 0$
2. $∀f\, f(A)=0 ⇒ \deg f ≤ \deg μ$

#Неравенство Коши-Буняковского (Конспект)

$|g(x, y)| ≤ ||x|| · ||y||$ — Коши-Буняковского

$|| x+y || ≤ ||x|| + ||y||$ — неравенство треугольника (следствие)

#Ортогональность (Конспект)

• Векторы $x, y ∈ 𝓔$ ортогональны iff $g(x, y) = 0$
• Система векторов $v_{1},…,v_{k}$ ортогональна iff $∀i,j\, i≠j → g(v_{i}, v_{j}) = 0$ — все векторы попарно ортогональны.

• Система векторов ортонормирована iff она ортогональна и $∀i\, g(v_{i}, v_{i}) = 1$.

  Т.е. $g(v_{i}, v_{j}) = δ_{i}^{j} = \begin{cases} 0,& i ≠ j \\ 1,& i = j \end{cases}$

#Ортогональный базис

Лемма: Ортогональная система векторов всегда л.н.з.

Отсюда любые $\dim V$ ортогональных ненулевых векторов образуют ортогональный базис $v_{1}, …, v_{n}$.

Дальше легко получить ортонормированный базис: $e_{1} = \frac{v_{1}}{|| v_{1} ||}, …, e_{n} = \frac{v_{n}}{|| v_{n} ||}$.

#Процесс ортогонализации Грама-Шмидта (Конспект)

Он строит ортогональный базис для пространства $𝓔$.

Пусть есть произвольный базис $a_{1}, …, a_{n}$, а $b_{1}, …, b_{n}$ — искомый ортогональный. Тогда он таков: $$b_{1} = a_{1} \\ b_{2} = a_{2} - \pr_{b_{1}}a_{2} = a_{2} - \frac{(a_{2}, b_{1})}{(b_{1}, b_{1})}b_{1} \\ … \\ b_{k+1} = a_{k+1} - \Σ_{i=1}^k \pr_{b_{j}}a_{n} = a_{k+1} - \Σ_{i=1}^k \frac{(a_{k+1}, b_{i})}{(b_{i}, b_{i})}b_{i}$$

#Грамиан (Конспект)

Это определитель матрицы Грама.

Он не меняется при ортогонализации и он всегда неотрицательный.

#Линейная зависимость через матрицу Грама

Система векторов л.з. ⇔ грамиан этой системы равен нулю.

#Ортогональное дополнение (Конспект)

$H$ — подпространство в $V$, а $H^⊥$ — ортогональное дополнение. $$H^⊥ = \{ x∈V \mid ∀y∈H : (x, y) = 0 \}$$ Т.е. оно содержит все векторы, которые перпендикулярны всем векторам из подпространства.

Некоторые свойства:

• $H ∩ H^⊥ = \{0\}$
• $H^⊥$ – тоже подпространство в $V$
• $V = H ⊕ H^⊥$ — именно прямая сумма.
• $\dim V = \dim H + \dim H^⊥$

#Ортогональная проекция (Конспект)

В пространстве $V = H ⊕ H^⊥$ для всякого $v∈𝓔$ $∃! x∈H, y∈H^⊥$, такие что $v = x + y$ (определение прямой суммы).

• $x∈H$ — ортогональная проекция вектора
• $y∈H^⊥$ — ортогональная составляющая
• $x = \pr_H v$

#Ортогональная проекция на линейную оболочку (Конспект)

$H = L(a_{1}, …, a_{k})$ — подпространство, заданное как лнейная оболочка. Тогда $y = \pr_H v = A(A^TA)^{-1}A^T · v$, где $A$ составленая из столбцов координат векторов $a_{1}, …, a_{k}$ в некотором ОНБ. $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & … & a_{k2} \\ a_{12} & a_{22} & … & a_{k2} \\ & & ⋱ & \\ a_{1n} & a_{2n} & … & a_{kn} \\ \end{pmatrix}$$

#Расстояние через грамиан (Конспект)

Расстояние между лин. многообразиями можнно посчситать так: $$ρ(P, M) = \sqrt{\frac{ Gr(a_{1}, a_{2}, …, a_{k}, x-x_{0}) }{ Gr(a_{1}, a_{2}, …, a_{k}) }}$$

#Сопряжённый оператор (Конспект)

$A^*$ — сопряженный к л.о. $A$, iff $∀x,y∈𝓔\, (Ax, y) = (x, A^*y)$

Если $A^* = A$, то $A$ – самосопряжённый: $(Ax, y) = (x, Ay)$.

#Матрица сопряжённого оператора (Конспект)

Дан некоторый базис $b$, тогда $A^*_b = Γ^{-1}_b · A_b^T · Γ_b$, где $Γ_b$ — матрица Грама базиса $b$, а $A_b$ — матрица л.о в том же базисе.

• в ОНБ $Γ = E$, а значит $A^* = A^T$
• сопряжённый оператор единственный

#с.з. самосопряжённого оператора

Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора являются действительными числами. $$∀λ : χ_{A^*}(λ) = 0 → λ∈ℝ$$

#с.в. самосопряжённого оператора

Все собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным с.в., ортогональны друг другу.

#ОНБ из с.в. для самосопряженного оператора

Для всякого самосопряженного оператора существует ОНБ, состоящий из собственных векторов, в котором матрица оператора диагональна.

#Ортогональная матрица

Матрица $O$ ортогональна iff $O^TO = E$

Например, $O = \begin{pmatrix} \cos φ & -\sin φ \\ \sin φ & \cos φ \end{pmatrix}$

#Ортогональный оператор

Л.о. ортогональный iff $∀x,y ∈ 𝓔 \quad (Ax, Ay) = (x, y)$

Такие операторы сохраняют углы и расстояния.

#Ортогональный оператор и ОНБ

Оператор ортогонален ⇔ он переводит один ОНБ в другой ОНБ.

#Критерий ортогональности л.о. через его матрицу (Конспект)

Л.о. отрогональный ⇔ его матрица в ОНБ ортогональна.

#Приведение квадратичной формы к диагональному виду (Конспект)

Всякую квадратичную форму можно отртогональными преоброзованиями привести к каноническому виду.

#Канонический вид ортогонального оператора

Существует ОНБ, в котором отртогональный оператор имеет матрицу следующего вида: $$\begin{pmatrix} A_{1} & 0 & … & 0 & & & & & & & & 0 \\ 0 & A_{2} & … & 0 & & & & & & & & \\ ⋮ & & ⋱ & ⋮ & & & & & & & & \\ 0 & 0 & … & A_{k} & & & & & & & & \\ & & & & 1 & 0 & … & 0 & & & & \\ & & & & 0 & 1 & … & 0 & & & & \\ & & & & ⋮ & & ⋱ & ⋮ & & & & \\ & & & & 0 & 0 & … & 1 & & & & \\ & & & & & & & & -1 & 0 & … & 0 \\ & & & & & & & & 0 & -1 & … & 0 \\ & & & & & & & & ⋮ & & ⋱ & ⋮ \\ 0 & & & & & & & & 0 & 0 & … & -1 \end{pmatrix}$$ где $$A_{k} = \begin{pmatrix} \cos φ_{k} & -\sin φ_{k} \\ \sin φ_{k} & \cos φ_{k} \end{pmatrix}$$

Частный случай для $n=3$ называется теоремой Эйлера: $$\begin{pmatrix} \cos φ & -\sin φ & 0 \\ \sin φ & \cos φ & 0 \\ 0 & 0 & ±1 \\ \end{pmatrix}$$

Смысл всего этого таков: всякий ортогональный оператор является поворотом вокруг некоторой оси, возможно, с отражением.

#Отртогональное дополнение к образу сопряженного оператора.

• $(\Im A^*)^⊥ = \Ker A$
• $V = \Ker A ⊕ \Im A^*$
• $V = \Ker A^* ⊕ \Im A$

#Теорема Фредгольма (Конспект)

$Ax = b$ совместна ⇔ $b$ перпендикулярно всем решениям ОСЛАУ $A^Ty = 0$.

#QR-разложение (Конспект)

Всякая квадратная матрица с л.н.з. столбцами может быть разложена на произведение ортогональной ($Q$) и верхнетреугольной ($R$).

#Сингулярное разложение

Всякая прямоугольная матрица размера $n×m$ раскладывается в произведение трёх:

1. $U$ — ортогональная размера $n×n$
2. $V$ — ортогональная размера $m×m$
3. $Σ$ — диагональная размера $m×n$

Причём на диагонали $Σ$ находятся сингулярные числа: $ο_{1} ≥ … ≥ ο_{r} > 0$ — они неотрицательные и их принято упорядочивать.

x^T(A^TA)x = (Ax, Ax) = ||Ax||^{2} ≥ 0

#Полярное разложение

Всякий л.о. в $𝓔$ представляется в виде композиции симметрического и ортогонального: $A = S · U$